Question

3．已知点A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是-$\frac{1}{2}$．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）根据斜率之积是-$\frac{1}{2}$．可得动点P的轨迹C的方程
（2）设MN的中点坐标为（x₀，y₀），联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$得到（2k²+1）x²+4kx=0，根据根与系数的关系以及点P在直线x+2y=0上即可求出斜率k，问题得以解决．

解答 解：（1）设$P（x，y）（x≠±\sqrt{2}）$，
由${k_{AP}}•{k_{BP}}=\frac{y}{{x+\sqrt{2}}}•\frac{y}{{x-\sqrt{2}}}=-\frac{1}{2}$，
整理得$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，x≠$±\sqrt{2}$
（2）设MN的中点坐标为（x₀，y₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$得（2k²+1）x²+4kx=0，
所以${x_0}=\frac{-2k}{{2{k^2}+1}}，{y_0}=k{x_0}+1=\frac{1}{{2{k^2}+1}}$，
由x₀+2y₀=0，得k=1，
所以直线的方程为：y=x+1

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，计算要准确，属于中档题．