Question

8．已知函数f（x）=x²+2ax+2．
（1）当a=-1时，求函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值和最小值；
（2）设函数g（x）=x-1，当x∈[-1，3]时，恒有f（x）＞g（x），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出当a=-1时，f（x）=x²-2x+2，可得对称轴，判断与区间的关系，可得最小值，再由端点处的函数值，可得最大值；
（2）由题意可得x²+2ax+2＞x-1即（1-2a）x＜3+x²，对x∈[-1，3]恒成立．讨论当x=0，当-1≤x＜0时，当0＜x≤3时，运用参数分离和函数的最值的求法，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²-2x+2，
对称轴为x=1，由1∈[-3，3]，可得f（1）取得最小值1；
由f（-3）=17，f（3）=5，可得f（x）的最大值为17；
（2）函数g（x）=x-1，当x∈[-1，3]时，恒有f（x）＞g（x），
即为x²+2ax+2＞x-1即（1-2a）x＜3+x²，对x∈[-1，3]恒成立．
当x=0时，0＜3显然成立；
当-1≤x＜0时，1-2a＞x+$\frac{3}{x}$，由x+$\frac{3}{x}$的导数1-$\frac{3}{{x}^{2}}$＜0，
可得x+$\frac{3}{x}$在[-1，0）递减，可得最大值为-4，则1-2a＞-4，解得a＜$\frac{5}{2}$；
当0＜x≤3时，1-2a＜x+$\frac{3}{x}$，由x+$\frac{3}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{3}{x}}$=2$\sqrt{3}$，当且仅当x=$\sqrt{3}$∈（0，3]，
可得最小值为2$\sqrt{3}$，则1-2a＜2$\sqrt{3}$，解得a＞$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$．
综上可得，a的取值范围是（$\frac{1}{2}$-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值的求法，注意运用对称轴和区间的关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和函数的单调性，求得最值，考查运算能力，属于中档题．