Question

2．已知底面为正方形的四棱锥O-ABCD，各侧棱长都为$2\sqrt{3}$，底面面积为16，以O为球心，以2为半径作一个球，则这个球与四棱锥O-ABCD相交部分的体积是（　　）

• A． $\frac{2π}{9}$
• B． $\frac{8π}{9}$
• C． $\frac{16π}{9}$
• D． $\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 分析可知，四棱锥O-ABCD实质是一个正方体的$\frac{1}{6}$，且球在正方体的内部

解答 解：∵连接正方体的对角线根据交点得出正方体可以分割成6个相同的四棱锥，
∴四棱锥O-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，各侧棱长均为2$\sqrt{3}$，
以O为中心，将6个这样的四棱锥放在一起，会得到一个正方体；
而以O为球心，1为半径的球正好在正方体的内部；
则球与该四棱锥重叠部分的体积为球体积的$\frac{1}{6}$；
因此以O为球心，1为半径的球与该四棱锥重叠部分的体积是V=$\frac{1}{6}$×$\frac{4}{3}$×π×2³=$\frac{16π}{9}$，
故选：C．

点评 本题考查了学生的空间想象力，把不规则图形补成一个规则图形，整体理解几何体的结构特征．