Question

19．已知P为△ABC内一点，且$3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$，若$AB=6，BC=5，AC=\sqrt{13}$，则点P到△ABC三边的距离的最大值为$\frac{9}{5}$．

Answer 1

分析 根据三角形的有关计算可得OA=2，OB=4，OC=3，如图以OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，设P（x，y），根据向量的坐标运算即可求出P的坐标，结合图象可得最值得问值，根据点到直线的距离公式计算即可

解答 解：在△ABC中过点C作OD⊥AB交AB于点O，则AC²-OA²=BC²-OB²，
即OB²-OA²=（OB-OA）（OB+OA）=12，
又OA+OB=6，
解得OA=2，OB=4，
所以OC=3，
如图以OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系，
所以A=（-2，0），B（4，0），C（0，3），
设P（x，y），
∵$3\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$，
∴3（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$）=$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$+2（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OP}$），
∴$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{6}$（3$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+2$\overrightarrow{OC}$）=$\frac{1}{6}$（-2，6）=（-$\frac{1}{3}$，1），
即P点的坐标为（-$\frac{1}{3}$，1），
易知P到△ABC中BC边的距离最大，
又直线BC的方程为3x+4y-12=0，
∴点P到△ABC三边的距离的最大值为$\frac{|-1+4-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{9}{5}$，
故答案为：$\frac{9}{5}$

点评 本题考查了向量的坐标运算和点到直线的距离公式，属于中档题