Question

18．已知命题p：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，若命题￢p是假命题．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p是真命题：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，则a＜$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}$，因此a＜$（\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}）_{max}$，x₀∈R．令f（x）=$\frac{-2x}{{x}^{2}+1}$，（x∈R）．利用基本不等式的性质求出其最大值即可得出．

解答 解：∵命题￢p是假命题，∴命题p是真命题．
若命题p是真命题：?x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，则a＜$\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}$，因此a＜$（\frac{-2{x}_{0}}{{x}_{0}^{2}+1}）_{max}$，x₀∈R．
令f（x）=$\frac{-2x}{{x}^{2}+1}$，（x∈R）．
当x=0时，f（0）=0；当x＞0时，0＞f（x）=$\frac{-2}{x+\frac{1}{x}}$≥-1；当x＜0时，0＜f（x）=$\frac{2}{-x+\frac{1}{-x}}$≤1．
综上可得：f（x）∈[-1，1]．
∴a＜1．
∴实数a的取值范围是（-∞，1）．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．