Question

7．解关于x的不等式：2x²-mx+1≤0．

Answer 1

分析 先求△的值，再分△＞0，△=0和△＜0，求出对应方程的实数根，写出不等式的解集即可．

解答 解：∵关于x的不等式为2x²-mx+1≤0，
∴△=m²-4×2×1=m²-8；
令△=0，解得m=±2$\sqrt{2}$；
 ①当△＞0，即m＞2$\sqrt{2}$或m＜-2$\sqrt{2}$时，
方程2x²-mx+1=0有二不等实数根：x₁=$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$，x₂=$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$，且x₁＜x₂；
∴原不等式的解集为{x|$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$≤x≤$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$}；
②当△=0，即m=±2$\sqrt{2}$时，方程2x²-mx+1=0有二等实数根：x₁=x₂=$\frac{m}{4}$；
∴原不等式的解集为{x|x=$\frac{m}{4}$}；
③当△＜0，即-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$时，
方程2x²-mx+1=0无实数根．∴原不等式的解集为∅；
综上，当m＞2$\sqrt{2}$或m＜-2$\sqrt{2}$时，不等式的解集为{x|$\frac{m-\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$≤x≤$\frac{m+\sqrt{{m}^{2}-8}}{4}$}；
当m=±2$\sqrt{2}$时，不等式的解集为{x|x=$\frac{m}{4}$}；
当-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$时，不等式的解集为∅．

点评 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，解题时应用分类讨论的思想方法，注意分类时要不重不漏，是基础题目．