Question

13．求函数f（x）=x²-2ax-1在区间[0，2]上的最值．

Answer 1

分析 函数f（x）=（x-a）²-a²-1，它的对称轴方程为x=a，再分①当a＜0时、②当 0≤a＜1时、③当 1≤a＜2时、④当a≥2时四种情况，分别利用二次函数的性质，求得函数在区间[0，2]上的最值．

解答 解：∵函数f（x）=x²-2ax-1=（x-a）²-a²-1，它的对称轴方程为x=a，
①当a＜0时，函数f（x）=x²-2ax-1在区间[0，2]上是增函数，
故函数的最小值为f（0）=-1，最大值为f（2）=3-4a．
②当 0≤a＜1时，函数的最小值为f（a）=-1-a²，最大值为f（2）=3-4a．
③当 1≤a＜2时，函数的最小值为f（a）=-1-a²，最大值为f（0）=-1．
④当a≥2时，函数f（x）=x²-2ax-1在区间[0，2]上是减函数，
故函数的最大值为f（0）=-1，最小值为f（2）=3-4a．

点评 本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．