Question

如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线与直线分别交于点，

（Ⅰ）设直线的斜率分别为，求证：为定值；
（Ⅱ）求线段的长的最小值；
（Ⅲ）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.

试题分析：（Ⅰ）随点运动而变化，故设点表示，进而化简整体消去变量；（Ⅱ）点的位置由直线，生成，所以可用两直线方程解出交点坐标，求出，它必是的函数，利用基本不等式求出最小值； （Ⅲ）利用的坐标求出圆的方程，方程必含有参数，消去一个后，利用等式恒成立方法求出圆所过定点坐标.
试题解析：（Ⅰ），令，则由题设可知，
∴直线的斜率，的斜率，又点在椭圆上，
所以，（），从而有.
（Ⅱ）由题设可以得到直线的方程为，
直线的方程为，
由，  由，
直线与直线的交点，直线与直线的交点.
又，
等号当且仅当即时取到，故线段长的最小值是.
（Ⅲ）设点是以为直径的圆上的任意一点，则，故有
，又，所以以为直径的圆的方程为
，令解得，
以为直径的圆是否经过定点和.