Question

已知椭圆的离心率为，且经过点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)如果过点的直线与椭圆交于两点（点与点不重合），
①求的值；
②当为等腰直角三角形时，求直线的方程．

Answer 1

(Ⅰ)椭圆的方程为；(Ⅱ) ①；②直线的方程为或或．

试题分析：(Ⅰ)由与离心率为，可求出方程；(Ⅱ) ①要求的值，可设直线的方程，采用设而不求的方法求得；②由①知：，如果为等腰直角三角形，设的中点为，则，利用可求出的值，从而求出直线的方程为．
试题解析：(Ⅰ)因为椭圆经过点，，因为，解得，
所以椭圆的方程为．
(Ⅱ)①若过点的直线的斜率不存在，此时两点中有一个点与点重合，不满足题目条件．
所以直线的斜率存在，设其斜率为，则的方程为，把代入椭圆方程得，设，则，，，
因为，所以
，
②由①知：，如果为等腰直角三角形，设的中点为，则，且，
若，则，显然满足，此时直线的方程为；
若，则，解得，所以直线的方程为，即或．
综上所述：直线的方程为或或．