Question

已知椭圆的长轴两端点分别为，是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使，交于点，交于点．

（Ⅰ）如图（1），若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，点到直线的距离为，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图（2），若，试证明：成等比数列．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）由的面积为12，点到直线的距离为，列出关于的方程求解；（Ⅱ）用坐标表示各点，然后求出的长，计算比较即可.
试题解析：（Ⅰ）如图1，当时，过点，，
∵的面积为12，，即．①               2分
此时，直线方程为．
∴点到的距离． ②    4分
由①②解得．            6分
∴所求椭圆方程为．      7分
（Ⅱ）如图2，当时，，设，
由三点共线，及，
（说明：也可通过求直线方程做）
得，
，即．  9分
由三点共线，及，
得，
，即．  11分
又，.            13分
而．  15分
，即有成等比数列．                      16分