Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点作圆  
（Ⅰ）若线段是圆的直径，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，求椭圆的方程;
（Ⅲ）若直线交（Ⅱ）中椭圆于，交轴于，求的最大值  

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）1

试题分析：（Ⅰ）利用直径所对的圆周角是直角建立参数的关系，然后求之；（Ⅱ）利用圆心在直线上寻找参数的关系，然后求之；（Ⅲ）直线与椭圆的相交问题采用设而不求的思路，利用坐标表示出的表达式，然后使用基本不等式求解
试题解析：（Ⅰ）由椭圆的方程知，点，，设F的坐标为，
是的直径，，      2分
解得，椭圆离心率    4分
（Ⅱ）过点三点，
圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为       ①
的中点为，的垂直平分线方程为  ②
由①②得，即         7分
在直线上，,。
由得，椭圆的方程为          9分
（Ⅲ）由得     （*）
设，则
       11分

         13分
当且仅当,时取等号。此时方程（*）中的Δ>0,
的最大值为1        13分