Question

16．已知点O（0，0），A（-8，0），B（0，3），Q（3，2），动点P满足条件|PA|=3|PO|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设直线l经过点B，直线m经过点Q．问是否存在直线l使之被轨迹C截得的线段MN恰被直线m垂直平分？若存在，求出直线l与直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出点的坐标，利用动点P满足|PA|=3|PO|，建立方程，化简可得点P的轨迹方程．
（2）利用垂径定理，即可得出结论．

解答 解：（1）设P（x，y），则
∵点O（0，0），A（-8，0），动点P满足|PA|=3|PO|，
∴$\sqrt{（x+8）^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
化简整理可得x²+y²-8x-32=0；
（2）x²+y²-8x-32=0可化为（x-4）²+y²=48，
由题意，m过圆心（4，0），∵直线m经过点Q（3，2），∴直线m的方程为y=$\frac{2}{3-4}$（x-4），即2x+y-8=0．
此时，直线l的斜率为$\frac{1}{2}$，直线l经过点B（0，3），∴直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+3．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线方程，考查学生的计算能力，正确运用两点间的距离公式是关键．