Question

4．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（-b，2c+a），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求$\frac{a+c}{b}$的取值范围；
（2）已知BD是△ABC的中线，若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，求|$\overrightarrow{BD}$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用向量共线的坐标表示，结合三角函数的恒等变换公式，化简可得B=120°，再由正弦定理，化简可得所求范围；
（2）运用中点的向量表示和向量的数量积的定义，结合基本不等式即可得到最小值．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（-b，2c+a），$\overrightarrow{n}$=（cosB，cosA），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
即有-bcosA=（2c+a）cosB，
即sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosB，
即有sin（A+B）=sinC=-2sinCcosB，
cosB=-$\frac{1}{2}$，由B为三角形的内角，
则B=120°，A+C=60°，
故$\frac{a+c}{b}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{2sin\frac{A+C}{2}cos\frac{A-C}{2}}{sin120°}$
=$\frac{2•\frac{1}{2}cos（30°-C）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$cos（30°-C），
由0°＜C＜60°，可得-30°＜30°-C＜30°，
即有$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cos（30°-C）≤1，
则有$\frac{a+c}{b}$的取值范围是（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]；
（2）$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），
即有|$\overrightarrow{BD}$|²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{BA}$²+$\overrightarrow{BC}$²+2$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$）
=$\frac{1}{4}$（c²+a²-4），
由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=-2，即cacos120°=-2，
可得ac=4，
故|$\overrightarrow{BD}$|²=$\frac{1}{4}$（c²+a²-4）≥$\frac{1}{4}$（2ac-4）=$\frac{1}{4}$×（8-4）=1．
当且仅当a=c=2时，取得最小值．
故|$\overrightarrow{BD}$|的最小值为1．

点评 本题考查向量共线和数量积的定义，考查正弦定理和三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．