题目内容
11．椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，经过P1（$\sqrt{6}$，1），P2（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，定点A（0，$\sqrt{3}$），若|AM|=|AN|，求直线1的斜率k的取值范围．
分析 （1）由题意设椭圆的方程为mx2+ny2=1，代点解关于mn的方程组可得；
（2）利用点差法，结合|AM|=|AN|，可得AE⊥MN，从而可得E的坐标，利用E在椭圆内部，解关于k的不等式可得．
解答 解：（1）由题意设椭圆的方程为mx2+ny2=1，其中m，n为不相等的正数，
代入P1（$\sqrt{6}$，1），P2（$\sqrt{3}$，$\sqrt{2}$）可得6m+n=1且3m+2n=1，
解方程组可得m=$\frac{1}{9}$，n=$\frac{1}{3}$，
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），其中点E（x0，y0），
则由MN在椭圆C上可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
两方程相减可得$\frac{1}{9}$（x1+x2）（x1-x2）+$\frac{1}{3}$（y1+y2）（y1-y2）=0
∴$\frac{1}{9}$x0（x1-x2）+$\frac{1}{3}$y0（y1-y2）=0，即k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{0}}{3{y}_{0}}$①
又AE⊥MN，故$\frac{{y}_{0}-\sqrt{3}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$，即k=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}-\sqrt{3}}$②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3\sqrt{3}k}{2}}\\{{y}_{0}=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∵E在椭圆内部，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$＜1，
∴代入可得$\frac{3}{4}$k2+$\frac{1}{4}$＜1，
∴k2＜1，又k≠0，
∴-1＜k＜1且k≠0
点评 本题考查椭圆的性质与标准方程，正确运用点差法是解决问题的关键，属中档题．
| A． | $\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$） | B． | $\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）$＜\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$） | C． | $\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$）$＜\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$） | D． | $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\sqrt{6}$f（$\frac{π}{6}$）$\sqrt{2}$f（$\frac{2π}{3}$） |
| A． | $\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{1}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{1}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{1}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 |
| A． | x-y-1=0 | B． | x+y-1=0 | C． | $\sqrt{3}$x+y-$\sqrt{3}$=0 | D． | $\sqrt{3}$x-y+$\sqrt{3}$=0 |