Question

8．若关于x的方程4^x+（a-3）•2^x+a=0在x∈（-∞，1）上有两个不等实根，则实数a 的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）∪（9，+∞）
• B． （$\frac{2}{3}$，1）
• C． （$\frac{2}{3}$，3）
• D． （-1，3）

Answer 1

分析 利用换元法结合根与系数之间的关系建立不等式关系即可得到结论．

解答 解：4^x+（a-3）•2^x+a=0等价为（2^x）²+（a-3）•2^x+a=0，
设t=2^x，∵x∈（-∞，1），
∴t∈（0，2），
即方程等价为t²+（a-3）•t+a=0在t∈（0，2）上有两个不等实根，
设f（t）=t²+（a-3）•t+a，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{△=（a-3）^{2}-4a＞0}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\\{0＜-\frac{a-3}{2}＜2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-10a+9＞0}\\{a＞0}\\{3a-2＞0}\\{-1＜a＜3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞9或a＜1}\\{a＞0}\\{a＞\frac{2}{3}}\\{-1＜a＜3}\end{array}\right.$，解得$\frac{2}{3}$＜a＜1，
故选：B．

点评 本题主要考查函数零点和方程的关系，利用换元法结合一元二次方程根与系数之间的关系是解决本题的关键．