Question

19．已知不等式|x-2|＜|x|的解集为$（{\frac{m}{2}，+∞}）$．若不等式a-5＜|x+1|-|x-m|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（1，4]．

Answer 1

分析 解不等式得出m的值，再利用绝对值不等式和绝对值的意义得出|x+1|-|x-m|在（0，+∞）上的范围，从而得出a的范围．

解答 解：∵|x-2|＜|x|，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-x＜-x}\\{x≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2-x＜x}\\{0＜x≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x-2＜x}\\{x＞2}\end{array}\right.$，
解得x＞1，∴$\frac{m}{2}$=1，即m=2．
∵|x+1|-|x-2|≤|x+1-x+2|=3，当且仅当x≥2时取等号，
∴3＜a+2，解得a＞1；
∵x＞0，∴|x+1|-|x-2|＞1-2=-1，
∴a-5≤-1，解得a≤4．
综上可得1＜a≤4．
故答案为：（1，4]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，属于中档题．