Question

14．在△ABC中，a、b、c分别为角ABC所对的边，且$\sqrt{3}$acosC=csinA．
（1）求角C的大小．
（2）若c=2$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为6$\sqrt{3}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式变形后利用正弦定理化简，整理后再利用同角三角函数间的基本关系求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由余弦定理可得：28=（a+b）²-3ab，由三角形面积公式可解得：ab=24，进而解得a+b的值．

解答 解：（1）由csinA=$\sqrt{3}$acosC，结合正弦定理得，$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{\sqrt{3}cosC}=\frac{c}{sinC}$，
∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，即tanC=$\sqrt{3}$，
∵0＜C＜π，
∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，c=2$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理可得：28=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
∵△ABC的面积为6$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}$ab，
解得：ab=24，
∴28=（a+b）²-3ab=（a+b）²-72，解得a+b=10．

点评 此题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．