Question

9．画边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三视图中的正视图时，若以△A₁C₁D所在的平面为投影面，则得到的正视图面积为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在平面A₁C₁D中建立坐标系，求出正方体各点在此平面上的投影坐标即可得出投影面积．

解答 解：显然△A₁C₁D是边长为2$\sqrt{2}$的等边三角形，且BD₁⊥平面A₁C₁D，
设垂直为O，则O为△A₁C₁D的中心，
由V${\;}_{{D}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}D}$=V${\;}_{D-{A}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{2}）^{2}×O{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$，
∴OD₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
以O为坐标原点，以A₁C₁的平行线为x轴，以DO为y轴，以OD₁为z轴建立空间坐标系，如图所示：

∴A在平面xoy上的投影为（-$\sqrt{2}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），D在平面xoy上的投影为（0，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），A₁在平面xoy上的投影为（-$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
B₁在平面xoy上的投影为（0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），C₁在平面xoy上的投影为（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），C在平面xoy上的投影为（$\sqrt{2}$，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），
∴正方体正视图的面积为S=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=4$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了空间几何体的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力的应用问题，