Question

11．已知数列{$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$}的前n项和为S_n，若S_n+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$=4，则数列{a_n}的前n项和T_n=36-$（8n+36）×（\frac{4}{5}）^{n}$．

Answer 1

分析 利用数列递推关系可得a_n，再利用错位相减法即可得出．

解答 解：∵S_n+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$=4，∴n≥2时，S_n-1+$\frac{{4}^{n}}{{5}^{n-1}}$=4，相减可得：$\frac{{a}_{n}}{2n-1}$+$\frac{{4}^{n+1}}{{5}^{n}}$-$\frac{{4}^{n}}{{5}^{n-1}}$=0，可得：a_n=（2n-1）×$（\frac{4}{5}）^{n}$．
n=1时，${a}_{1}+\frac{16}{5}$=4，解得a₁=$\frac{4}{5}$，上式对于n=1时也成立．
∴a_n=（2n-1）×$（\frac{4}{5}）^{n}$．
∴数列{a_n}的前n项和T_n=$1×\frac{4}{5}$+3×$（\frac{4}{5}）^{2}$+5×$（\frac{4}{5}）^{3}$+…+（2n-1）×$（\frac{4}{5}）^{n}$，
∴$\frac{4}{5}$T_n=$（\frac{4}{5}）^{2}$+3×$（\frac{4}{5}）^{3}$+…+（2n-3）×$（\frac{4}{5}）^{n}$+（2n-1）×$（\frac{4}{5}）^{n+1}$，
相减可得：$\frac{1}{5}$T_n=$\frac{4}{5}+2×$$[（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{4}{5}）^{3}$+…+$（\frac{4}{5}）^{n}]-$-（2n-1）×$（\frac{4}{5}）^{n+1}$=$\frac{4}{5}$+2×$\frac{（\frac{4}{5}）^{2}[1-（\frac{4}{5}）^{n-1}]}{1-\frac{4}{5}}$-（2n-1）×$（\frac{4}{5}）^{n+1}$，
可得T_n=36-$（8n+36）×（\frac{4}{5}）^{n}$．
故答案为：36-$（8n+36）×（\frac{4}{5}）^{n}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．