题目内容
18．数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，且对于任意n∈N+都满足an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，则数列{an•an+1}的前n项和为（ ）| A． | $\frac{1}{3n+1}$ | B． | $\frac{n}{3n+1}$ | C． | $\frac{1}{3n-2}$ | D． | $\frac{n}{2（3n+2）}$ |
分析 数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，且对于任意n∈N+都满足an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．
解答 解：∵数列{an}满足a1=$\frac{1}{2}$，且对于任意n∈N+都满足an+1=$\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=3+$\frac{1}{{a}_{n}}$，即：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为2，公差为3．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+3（n-1）=3n-1，
∴an=$\frac{1}{3n-1}$，
∴an•an+1=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴数列{an•an+1}的前n项和=$\frac{1}{3}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{8}）$+…+$（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）]$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}）$
=$\frac{n}{6n+4}$．
故选：D．
点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列的通项公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．
13．在某城市气象部门的数据中，随机抽取100天的空气质量指数的监测数据如表
（1）若该城市各医院每天收治上呼吸道病症总人数y与当天的空气质量t（t取整数）存在如下关系y=$\left\{\begin{array}{l}{t，t≤100}\\{2t-100，100＜t≤300}\\{\;}\end{array}\right.$且当t＞300时，y＞500，估计在某一医院收治此类病症人数超过200人的概率；
（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合与曲线 $\stackrel{∧}{y}$=a+blnt，现已取出了10对样本数据（ti，yi）（i=1，2，3，…，10）且知$\sum_{i=1}^{10}$lnti=70，$\sum_{i=1}^{10}$yi=6000，$\sum_{i=1}^{10}$yilnti=42500，$\sum_{i=1}^{10}$（lnti）2=500试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式
（附：线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=a+bx中，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．
| 空气质量指数t | （0，50] | （50，100] | （100，150] | （150，200） | （200，300] | （300，+∞） |
| 质量等级 | 优 | 良 | 轻微污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 严重污染 |
| 天数K | 5 | 23 | 22 | 25 | 15 | 10 |
（2）若在（1）中，当t＞300时，y与t的关系拟合与曲线 $\stackrel{∧}{y}$=a+blnt，现已取出了10对样本数据（ti，yi）（i=1，2，3，…，10）且知$\sum_{i=1}^{10}$lnti=70，$\sum_{i=1}^{10}$yi=6000，$\sum_{i=1}^{10}$yilnti=42500，$\sum_{i=1}^{10}$（lnti）2=500试用可线性化的回归方法，求拟合曲线的表达式
（附：线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=a+bx中，b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．
3．已知变量x，y之间的线性回归方程为$\widehat{y}$=-0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）
| x | 6 | 8 | 10 | 12 |
| y | 6 | m | 3 | 2 |
| A． | 变量x，y之间呈现负相关关系 | |
| B． | m=4 | |
| C． | 可以预测，当x=11时，y=2.6 | |
| D． | 由表格数据知，该回归直线必过点（9，4） |