Question

13．已知函数f（x）=|x-a|，不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）≤3求解绝对值的不等式，结合不等式f（x）≤3的解集为[-1，5]列式求得实数a的值；
（Ⅱ）利用绝对值的不等式放缩得到f（x）+f（x+5）≥5，结合f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，即可求得实数m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）≤3，得|x-a|≤3，
∴a-3≤x≤a+3，
又f（x）≤3的解集为[-1，5]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-3=-1}\\{a+3=5}\end{array}\right.$，解得：a=2；
（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|≥|（x-2）-（x-3）|=5．
又f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，
∴m≤5．

点评 本题考查恒成立问题，考查了绝对值不等式的解法，是中档题．