题目内容
3．设数列{an}的首项a1为常数，且${a_{n+1}}={3^n}-2{a_n}（n∈{N_+}）$．（1）若${a_1}≠\frac{3}{5}$，证明：$\left\{{{a_n}-\frac{3^n}{5}}\right\}$是等比数列；
（2）若${a_1}=\frac{3}{2}$，{an}中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．
（3）若{an}是递增数列，求a1的取值范围．
分析 （1）根据等比数列的定义，结合条件，即可得证；
（2）由（1）求出数列{an}的通项公式，再由等差数列的性质，得到方程，求出n，即可判断；
（3）运用数列{an}的通项公式，作差，再由n为偶数和奇数，通过数列的单调性，即可得到范围
解答 （1）证明：因为$\frac{{a}_{n+1}-\frac{1}{5}•{3}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}•{3}^{n}}$=$\frac{{3}^{n}-2{a}_{n}-\frac{1}{5}•{3}^{n+1}}{{a}_{n}-\frac{1}{5}•{3}^{n}}$
=$\frac{\frac{2}{5}•{3}^{n}-2{a}_{n}}{-（\frac{1}{5}•{3}^{n}-{a}_{n}）}$=-2，
所以数列{an-$\frac{{3}^{n}}{5}$}是首项为a1-$\frac{3}{5}$，公比为-2的等比数列；
（2）解：{an-$\frac{{3}^{n}}{5}$}}是公比为-2，首项为a1-$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{10}$的等比数列．
通项公式为an=$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a1-$\frac{3}{5}$）（-2）n-1=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}$•（-2）n-1，
若{an}中存在连续三项成等差数列，则必有2an+1=an+an+2，
即2[$\frac{{3}^{n+1}}{5}$+$\frac{9}{10}$•（-2）n]=$\frac{{3}^{n}}{5}$+$\frac{9}{10}$•（-2）n-1+$\frac{{3}^{n+2}}{5}$+$\frac{9}{10}$•（-2）n+1，
解得n=4，即a4，a5，a6成等差数列．
（3）解：如果an+1＞an成立，
即$\frac{{3}^{n+1}}{5}$+（a1-$\frac{3}{5}$）•（-2）n＞$\frac{{3}^{n}}{5}$+（a1-$\frac{3}{5}$）•（-2）n-1对任意自然数均成立．
化简得$\frac{4}{15}$•3n＞-（a1-$\frac{3}{5}$）•（-2）n，
当n为偶数时a1＞$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{15}$•（$\frac{3}{2}$）n，
因为p（n）=$\frac{3}{5}$-$\frac{4}{15}$•（$\frac{3}{2}$）n是递减数列，
所以p（n）max=p（2）=0，即a1＞0；
当n为奇数时，a1＜$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{15}$•（$\frac{3}{2}$）n，
因为q（n）=$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{15}$•（$\frac{3}{2}$）n是递增数列，
所以q（n）min=q（1）=1，即a1＜1；
故a1的取值范围为（0，1）．
点评 本题考查数列的通项公式及等比数列的证明，考查等差数列的性质和已知数列的单调性，求参数的范围，考查运算能力，属于中档题和易错题．
孟建平错题本系列答案
超能学典应用题题卡系列答案
如图，F1，F2是椭圆${C_1}：\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是$\sqrt{2}$．| A． | lna＞lnb | B． | $\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$ | C． | a2＞ab | D． | a2+b2＞2ab |
| A． | -$\frac{\sqrt{6}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | C． | ±$\frac{\sqrt{6}}{2}$ | D． | $\frac{3}{2}$ |