Question

4．小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．
为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上的球场中轴线上，y轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程$y=\frac{1}{2}kx-\frac{1}{80}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$表示的曲线上，其中k与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．
（Ⅰ）求发射器的最大射程；
（Ⅱ）请计算k在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a最大为多少？并请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$y=\frac{1}{2}kx-\frac{1}{80}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$，可令y=0，求得x，再由基本不等式可得最大射程；
（（Ⅱ）网球发过球网，满足x=8时y＞1，解不等式可得k的范围，再由a²k²-40ak+a²+204=0（a≠0），运用判别式非负，解不等式即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）由$\frac{1}{2}$kx-$\frac{1}{80}$（1+k²）x²=0（k＞0），
可得：x=$\frac{40k}{1+{k}^{2}}$或x=0，
由x=$\frac{40}{k+\frac{1}{k}}$≤$\frac{40}{2}$=20，当且仅当k=1时取等号．
因此，最大射程为20米；             
（Ⅱ）网球发过球网，满足x=8时y＞1．
所以4k-$\frac{4}{5}$（1+k²）＞1，即4k²-20k+9＜0，
因此$\frac{1}{2}$＜k＜$\frac{9}{2}$，
依题意：关于k的方程$\frac{1}{2}$ka-$\frac{1}{80}$（1+k²）a²=2.55在（$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$）上有实数解，
即a²k²-40ak+a²+204=0（a≠0），
△=1600a²-4a²（a²+204）≥0
得a≤14，
此时k=$\frac{10}{7}$，球过网了，
所以击球点的横坐标a最大为14．

点评 本题考查函数模型的运用，考查二次函数和二次不等式的解法，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．