Question

3．已知一家公司生产某种产品的年固定成本为6万元，每生产1千件需另投入2.9万元．设该公司一年内生产该产品x千件并全部销售完，每千件的销售收入为g（x）万元，且g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{8+\frac{{2}^{x}}{64x}，1≤x≤8}\\{11-\frac{1}{30}{x}^{2}，x＞8}\end{array}\right.$．
（1）写出年利润f（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）求该公司生产这一产品的最大利润及相应的年产量．（年利润=年销售收入-年总成本）

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，分别求出f（x）的解析式即可；
（2）通过讨论x的范围，求出各个区间上的函数的单调性，求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）当1≤x≤8时，f（x））=x（8+$\frac{{2}^{x}}{64x}$）-（6+2.9x）=$\frac{{2}^{x}}{64}$+5.1x-6，
当x＞8时，f（x）=xg（x）-（6+2.9x）=8.1x-$\frac{{x}^{3}}{30}$-6，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{x}}{64}+5.1x-6，1≤x≤8}\\{8.1x-\frac{{x}^{3}}{30}-6，x＞8}\end{array}\right.$；
（2）当1≤x≤8时，f（x）=$\frac{{2}^{x}}{64}$+5.1x-6为增函数，
此时，f（x）_max=f（8）=4+5.1×8-6=38.8，
当x＞8时，由f′（x）=8.1-$\frac{{x}^{2}}{10}$=0，解得：x=9，
x∈（8，9）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（9，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
此时，f（x）_max=f（9）=8.1×9-$\frac{1}{30}$×9³-6=42.6，
38.8＜42.6，因此x=9时，f（x）取得最大值为42.6万元，
故当年产量为9千件时，该公式在这一产品的生产中获得最大年利润42.6万元．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．