Question

已知函数f（x）=

1

2

x³-ax+1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）在区间[-1，2]内至少存在一个实数x，使得f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，求出切点，应用点斜式方程，并化为斜截式方程；
（Ⅱ）由已知得，即存在0＜x≤2，使得，a≥

1

2

x2+

1

x

成立；或存在-1≤x＜0，使得a≤

1

2

x2+

1

x

成立．
令g（x）=

1

2

x2+

1

x

（-1≤x≤2，且x≠0），求出导数，求出单调区间，求出g（x）在（0，2]上 的最小值，在[-1，0）上的最大值，则只要a不小于最小值，或a不大于最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵当a=1时，f（x）=

1

2

x³-x+1，f′（x）=

3

2

x²-1，f（2）=3，
∴曲线y=f（x）在点（2，3）处的切线斜率为k=f′（2）=6-1=5，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：y-3=5（x-2）即y=5x-7．
（Ⅱ）由已知得，在区间[-1，2]内至少存在一个实数x，使得ax≥

1

2

x³+1成立．
即存在0＜x≤2，使得，a≥

1

2

x2+

1

x

成立；或存在-1≤x＜0，使得a≤

1

2

x2+

1

x

成立．
令g（x）=

1

2

x2+

1

x

（-1≤x≤2，且x≠0），则g′（x）=x-

1

x2

，
则g（x）在[1，2]上单调递增，在[-1，0），（0，1]上单调递减，
∴g（x）在（0，2]上 的最小值为g（1），在[-1，0）上的最大值为g（-1）．
∴0＜x≤2时，a≥g（x）_min=g（1）=

3

2

，
-1≤x＜0时，a≤g（x）_max=g（-1）=-

1

2

．
∴a≥

3

2

或a≤-

1

2

．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用：求切线方程和求单调区间、求极值、最值等，同时考查存在性问题的解决方法，属于中档题．