Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=2-3sinα y=3cosα-2

，（其中α为参数，α∈R），在极坐标系（以坐标原点0为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，曲线C₂的极坐标方程为ρcos（θ-

π

4

）=a．
（Ⅰ）把曲线C₁和C₂的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁上恰有三个点到曲线C₂的距离为

3

2

，求曲线C₂的直角坐标方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：选作题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）把圆的参数方程移项、平方作和即可得到圆的普通方程．展开两角和的余弦公式，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ得直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）曲线C₁的半径为3，故所求曲线C₂与直线x+y=0平行，且与直线x+y=0相距

3

2

时符合题意．

解答： 解：（Ⅰ）曲线C₁的参数方程为

x=2-3sinα y=3cosα-2

，消去α可得（x-2）²+（y+2）²=9；
曲线C₂的极坐标方程为ρcos（θ-

π

4

）=

2

2

ρcosθ+

2

2

ρsinθ=a，
代入x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y=

2

a；
（Ⅱ）曲线C₁的半径为3，故所求曲线C₂与直线x+y=0平行，且与直线x+y=0相距

3

2

时符合题意．
由

| 2 a|

2

=

3

2

，可得a=±

3

2

，
∴曲线C₂的直角坐标方程为x+y=±

3

2

2

．

点评：本题考查圆的参数方程化普通方程，考查直线的极坐标方程化直角坐标方程，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．