Question

11．已知f（x）=2x²+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b、c的值即可；
（2）不等式f（x）+t≤2恒成立，转化为t≤-2x²+2x+2恒成立，求出g（x）=-2x²+2x+2在x∈[-1，1]的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2x²+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集是（0，1），
∴方程2x²+bx+c=0的两个实数根为0和1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0+1=-\frac{b}{2}}\\{0×1=\frac{c}{2}}\end{array}\right.$，
解得b=-2，c=0，
∴f（x）=2x²-2x；
（2）对于任意x∈[-1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，
即2x²-2x+t≤2恒成立，
∴t≤-2x²+2x+2；
设g（x）=-2x²+2x+2，x∈[-1，1]，
∴g（x）=-2${（x-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{5}{2}$，
当x=-1时，g（x）取得最小值为-2×（-1）²+2×（-1）+2=-2，
∴实数t的取值范围是t≤-2．

点评 本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系，也考查了不等式恒成立的问题，考查了转化思想的应用问题，是基础题目．