Question

13．已知函数f（x）=log₂（|2x-1|+|x+2|-a）
（1）当a=4时，求函数f（x）的定义域；
（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≥2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用零点分段法解含绝对值的不等式；
（2）用分离参数法，构造函数法求参数的范围．

解答 解：（1）当a=4时，要使函数式有意义，则
|2x-1|+|x+2|＞4，分类讨论如下：
①当x≥$\frac{1}{2}$时，2x-1+x+2＞4，解得x＞1；
②当-2≤x＜-$\frac{1}{2}$时，1-2x+x+2＞4，解得-2≤x＜-1；
③当x＜-2时，1-2x-x-2＞4，解得x＜-2，
综合以上讨论得，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）∵f（x）≥2恒成立，
∴|2x-1|+|x+2|-a＞4恒成立，
分离参数a得，a＜|2x-1|+|x+2|-4，
所以，a≤[|2x-1|+|x+2|-4]_min，
记g（x）=|2x-1|+|x+2|-4，
分析可知，当x=$\frac{1}{2}$时，g（x）_min=-$\frac{3}{2}$，
所以，实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查了对数函数的性质，绝对值不等式的解法，函数值域的解法，充分体现了函数思想，分类讨论思想，属于中档题．