Question

已知某家企业的生产成本z（单位：万元）和生产收入ω（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，其解析式分别为：z=x³-18x²+75x-80，ω=15x
（1）试写出该企业获得的生产利润y（单位：万元）与产量x（单位：t）之间的函数解析式；
（2）当产量为多少时，该企业能获得最大的利润？最大利润是多少？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：导数的综合应用

分析：（1）由题意，利用销售收入减去生产成本，可得生产利润函数；
（2）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最大值．

解答： 解：（1）∵生产成本z（单位：万元）
和生产收入ω（单位：万元）都是产量x（单位：t）的函数，
其解析式分别为：z=x³-18x²+75x-80，ω=15x
∴该企业获得的生产利润y（单位：万元）与产量x（单位：t）之间的函数解析式：
y=-x³+18x²-60x+80（x≥0）
（2）∵y=-x³+18x²-60x+80（x≥0），
∴y′=-3x²+36x-60，
由y′=0，得x=2或x=10，
当x∈[0，2）时，y′＜0；当x∈[2，10）时，y′＞0；
当x∈（10，+∞）时，y′＜0，
∴f（x）_极大值=f（10）=280．
∴产量为10t时该企业能获得最大的利润，最大利润为280万元．

点评：利用已知条件能求出产量之间的函数解析式，求当产量为多少时，该企业能获得最大的利润并求出最大利润，是中档题，解题时要注意导数性质的合理运用．