Question

已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是（3，一2

3

），（一2，0），（4，一4），（

2

，

2

2

）．
（Ⅰ）求C₁，C₂的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线L满足条件：①过C₂的焦点F；②与C₁交与不同的两点M，N且满足

OM

⊥

ON

？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有

y2

x

=2p，x≠0，由此能求出C₂：y²=4x，设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由题意得

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，由此能求出

C

1

的方程为：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，直线l交抛物线于M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），

OM

•

ON

≠0，不满足题意，当直线l的斜率存在时，假设存在直线l，过抛物线焦点F（1，0），设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），
则有

y2

x

=2p，x≠0，
据此验证4个点知（3，-2

3

），（4，-4）在抛物线上，
∴C₂：y²=4x，
设C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
把点（-2，0），（

2

，

2

2

）代入，得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得

a=2 b=1

，
∴

C

1

的方程为：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x=1，直线l交抛物线于M（1，

3

2

），N（1，-

3

2

），

OM

•

ON

≠0，不满足题意，
当直线l的斜率存在时，假设存在直线l，过抛物线焦点F（1，0），
设其方程为y=k（x-1），与C₁的交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

x2 4 +y2=1 y=k(x-1)

，消去y并整理，得（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0，
∴x1+x2=

8k2

1+4k2

，x1x2=

4(k2-1)

1+4k2

，①
y₁y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]，
∴y1y2=k2[

4(k2-1)

1+4k2

-

8k2

1+4k2

+1]=-

3k2

1+4k2

，②
由

OM

⊥

ON

，即

OM

•

ON

=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
将①，②代入（*）式，得

4(k2-1)

1+4k2

-

3k2

1+4k2

=

k2-4

1+4k2

=0，
解得k=±2，
∴存在直线l满足条件，且l的方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．

点评：本题考查抛物线和椭圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．