Question

在△ABC中，已知∠A为锐角，f（A）=

(cos2A+1)sinA

2(cos2 A 2 -sin2 A 2 )

+

cos2A+1

2

．
（1）将f（A）化简成f（A）=Msin（ωA+φ）+N（M＞0，N∈R）的形式；
（2）若f（A-

5

24

π）≥

2

2

+

1

2

恒成立，BC=2，求b+c的取值范围？

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）直接利用三角函数的恒等变换求出结果
（2）根据（1）的结论，利用余弦定理和三边关系求出b+c的范围．

解答： 解：（1）f（A）=

(cos2A+1)sinA

2(cos2 A 2 -sin2 A 2 )

+

cos2A+1

2

=

sin2A

2

+

cos2A+1

2

=

2

2

sin(2A+

π

4

)+

1

2

．      
（2）由条件及（1）得：sin（2A-

π

6

）≥1，
A=

π

3

，
由余弦定理得：4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
由b+c≥2

bc

，
所以：bc≤

(b+c)2

4

，
代入上式解得：b+c≤4，
又因为：b+c＞a=2，
因此，b+c∈（2，4]．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，余弦定理得应用．