Question

已知圆心为O的圆内有一条弦BC，其长为2，动点为A，在圆上运动，且∠BAC=45°，若∠ABC为锐角，则

OA

•

BC

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：首先建立恰当的直角坐标系，根据直角坐标系确定各点的坐标，进一步利用向量的数量积转化成利用定义域求三角函数的值域．

解答： 解：如图所示：|BC|=2，∠BOC=90°，∠CAB=45°，
由于∠B为锐角，则：点A只能在左半圆上，
故设：A（

2

cosθ，

2

sinθ）（

π

2

＜θ＜

3π

2

）
B（

2

，0），C（0，

2

），

OA

=（

2

cosθ，

2

sinθ），

BC

=（-

2

，

2

），
所以：

OA

•

BC

=-2cosθ+2sinθ=2

2

sin（θ-

π

4

）
由于

π

2

＜θ＜

3π

2

，
所以：-

2

2

＜sin（θ-

π

4

）≤1，
则：-2＜

OA

•

BC

≤2

2

．
故答案为：（-2，2

2

]．

点评：本题考查的知识要点：向量的数量积，三角函数的恒等变换，利用正弦型函数的定义域求值域．