Question

已知

OA

=（1，1），

OB

=（1，a），其中O为坐标原点，若向量

OA

与

OB

的夹角在区间[0，

π

12

]内变化，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：运用向量的数量积的定义和性质及坐标表示，结合余弦函数的单调性，求出cosθ的范围，解不等式即可得到a的范围．

解答： 解：由于

OA

=（1，1），

OB

=（1，a），
则

OA

•

OB

=1+a，|

OA

|=

2

，|

OB

|=

1+a2

由于向量

OA

与

OB

的夹角在区间[0，

π

12

]，
则有cosθ∈[

6 + 2

4

，1]．
由于cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

即有

6 + 2

4

≤

1+a

2 • 1+a2

≤1，
解得，

3

3

≤a≤

3

．
故答案为：

3

3

≤a≤

3

．

点评：本题考查平面向量的数量积的定义和坐标表示，考查余弦函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．