Question

关于函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x+

π

6

）有下列命题：
①y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
②y=f（x）的一条对称轴为x=-

π

3

；
③y=f（x）在区间（

π

6

，

2π

3

）上单调递减；
④将函数y=2cos2x的图象向左平移

π

6

个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是

 

．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质,简易逻辑

分析：化简函数f（x），由周期公式求出周期判断①；直接把x=-

π

3

代入函数解析式求值判断②；
由简单复合函数的单调性求解单调减区间判断③；利用函数图象的平移判断④．

解答： 解：∵f（x）=cos（2x-

π

3

）+sin（2x+

π

6

）
=cos（

π

3

-2x）+sin（2x+

π

6

）=2sin（2x+

π

6

）．
∴y=f（x）是以π为最小正周期的周期函数．命题①正确；
当x=-

π

3

时，f(-

π

3

)=2sin[2×(-

π

3

)+

π

6

]=2sin(-

π

2

)=-2．
∴y=f（x）的一条对称轴为x=-

π

3

．命题②正确；
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ，得

π

6

+kπ≤x≤

2π

3

+kπ，k∈Z．
取k=0得，

π

6

≤x≤

2π

3

．
∴y=f（x）在区间（

π

6

，

2π

3

）上单调递减．命题③正确；
函数y=2cos2x的图象向左平移

π

6

个单位后，所得图象对应的函数解析式为y=2cos2(x+

π

6

)=2cos(2x+

π

3

)．与f（x）的图象不重合．命题④错误．
∴正确命题的序号是①②③．
故答案为：①②③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角函数的图象和性质，是中档题．