Question

如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M是AB的中点，则sin＜

DB′

，

CM

＞的值为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  210

  15

• C、

  2

  3

• D、

  11

  15

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：两向量夹角的余弦，有公式可以求，所以先求两向量夹角的余弦，这样需要知道向量

DB′

和

CM

的坐标，所以建立空间直角坐标系．为了求向量的坐标，可设正方体的楞长为1，并能求出这两个向量的坐标，然后带入两向量夹角的余弦公式即可．

解答： 解：分别以DA，DC，DD′为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设楞长为1，则D（0，0，0），B′（1，1，1），M（1，

1

2

，0），C（0，1，0）；
∴

DB′

=(1，1，1)，

CM

=(1，-

1

2

，0)；
∴cos＜

DB′

，

CM

＞=

1- 1 2

3 5 4

=

15

15

．
∴sin＜

DB′

，

CM

＞=

1- 1 15

=

210

15

．
故选B．

点评：建立空间直角坐标系是求解本题的关键，并能正确求出向量的坐标．考查空间直角坐标系，向量坐标的求法，向量夹角的余弦公式．