Question

20．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．
（1）求角A的大小；
（2）若c=3，求b的长．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于-tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解；
（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）=$\frac{tanB+tanC}{1-tanBtanC}$=$\frac{2+3}{1-2×3}$=-1，…（3分）
因为：A=180°-B-C，（4分）
所以：tanA=tan（180°-（B+C））=-tan（B+C）=1…（5分）
因为：A∈（0，π），
所以：A=$\frac{π}{4}$．
（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．
所以：sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
所以由正弦定理可得：b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{3×\frac{2\sqrt{5}}{5}}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$=2$\sqrt{2}$…（10分）

点评 本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．