Question

11．设f（x）=|2-x ²|，若0＜a＜b且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（　　）

• A． （0，2）
• B． （ $\sqrt{2}$，2）
• C． （2，4）
• D． （2，2 $\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根据f（x）=|2-x²|，结合f（a）=f（b），得f（a）=2-a²且f（b）=b²-2，所以a²+b²=4，且0＜a＜$\sqrt{2}$＜b．令a=2cosα，b=2sinα，得a+b=2cosα+2sinα=2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）
结合正弦函数的图象与性质，可得a+b的取值范围．

解答 解：∵f（x）=|2-x²|，0＜a＜b且f（a）=f（b），
∴0＜a＜$\sqrt{2}$＜b，且f（a）=2-a²，f（b）=b²-2，
因此，2-a²=b²-2，得a²+b²=4，
令a=2cosα，b=2sinα，
∵0＜a＜$\sqrt{2}$＜b，∴$\frac{π}{4}$＜α＜$\frac{π}{2}$
则a+b=2cosα+2sinα=2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）
∵$\frac{π}{2}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），得2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（2，2$\sqrt{2}$）
即a+b的取值范围是（2，2$\sqrt{2}$）
故选D

点评 本题以含有绝对值的二次函数为载体，考查了函数图象的对称性、三角换元法求函数值域和不等式恒成立等知识，属于中档题．