Question

10．已知直线l₁：x+a²y+1=0和直线l₂：（a²+1）x-by+3=0．
（1）若b=-12，l₁∥l₂，求a的值；
（2）若l₁⊥l₂，则|a•b|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由l₁∥l₂得：a²（a²+1）+b=0，即a⁴+a²-12=0，解出即可得出．
（2）由l₁⊥l₂得：（a²+1）-a²b=0，（显然a≠0），可得$b=\frac{{{a^2}+1}}{a^2}$，利用双勾函数或基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由l₁∥l₂得：a²（a²+1）+b=0，即a⁴+a²-12=0，…（2分）
解得：$a=±\sqrt{3}$…（4分）
（2）由l₁⊥l₂得：（a²+1）-a²b=0，（显然a≠0）…（6分）
∴$b=\frac{{{a^2}+1}}{a^2}$，…（8分）
$|{a•b}|=|{a•\frac{{{a^2}+1}}{a^2}}|=|{a+\frac{1}{a}}|$…（10分）
由双勾函数可得：$|{a+\frac{1}{a}}|≥2$，故|ab|_min=2…（12分）

点评 本题考查了直线相互平行垂直与斜率截距之间的关系、方程的解法、双勾函数或基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．