Question

19．已知等差数列{a_n}的首项和公差均为$\frac{1}{2}$，则数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前100项和S₁₀₀=$\frac{400}{101}$．

Answer 1

分析 推导出$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），由此利用裂项求和法能求出数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前100项和．

解答 解：∵等差数列{a_n}的首项和公差均为$\frac{1}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴数列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$的前100项和：
S₁₀₀=4（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{100}-\frac{1}{101}$）=4（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{400}{101}$．
故答案为：$\frac{400}{101}$．

点评 本题考查等差数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．