Question

8．若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，
给出下列结论：
①四面体ABCD每个面的面积相等；
②从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90^° 而小于180^°；
③连结四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；
④从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长；
其中正确结论的序号是①③④．（写出所有正确结论的序号）

Answer 1

分析 由条件可知四面体的棱为长方体的面对角线，根据长方体的性质判断各结论是否正确．

解答 解：由条件可知四面体ABCD的四个面全等，故而①正确；
由条件可知四面体ABCD为长方体的面对角线组成的三棱锥，如图所示：
当长方体为正方体时，三棱锥任意一个顶点处的三个角均为60°，
故而从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和都是180°，故②错误；
由长方体的性质可知连结四面体ABCD每组对棱中点的线段为长方体对面的中心连线，故而③正确；
∵AC=BD，AB=CD，AD=BC，
∴过四面体任意一点的三条棱的长为△ABD的三边长，故而④正确．
故答案为：①③④．

点评 本题考查了棱锥的结构特征，属于中档题．