Question

5．已知sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$，其中α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），求cos2α，cos2β的值．

Answer 1

分析 根据α，β的范围确定α-β和α+β的范围，进而利用同角三角函数基本关系求得sin（α-β）和cos（α+β）的值，进而利用cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]，cos2β=cos[（α-β）-（α+β）]及两角和与差公式求得答案．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α-β∈（-π，0），α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），
∵sin（α+β）=$\frac{4}{5}$＞0，cos（α-β）=-$\frac{4}{5}$＜0，
∴α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），α-β∈（-π，-$\frac{π}{2}$），
∴sin（α-β）=-$\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}$=-$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{3}{5}$，
∴cos2α=cos[（α-β）+（α+β）]
=cos（α-β）cos（α+β）-sin（α-β）sin（α+β）
=（-$\frac{4}{5}$）×（-$\frac{3}{5}$）-（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{4}{5}$
=$\frac{24}{25}$．
cos2β=cos[（α-β）-（α+β）]
=cos（α-β）cos（α+β）+sin（α-β）sin（α+β）
=（-$\frac{4}{5}$）×（-$\frac{3}{5}$）+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{4}{5}$
=0．

点评 本题主要考查了两角和的正弦函数，余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属基础题．