Question

13．已知奇函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=-2^x，则f（log₂10）等于$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 先判断log₂10的范围，利用函数的周期为2转化到区间（-1，0）内，再根据奇函数的定义和对数的运算性质求出f（log₂10）的值．

解答 解：∵3＜log₂10＜4，
∴-1＜-4+log₂10＜0，
∵f（x+1）=-f（x），
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函数f（x）是以2为周期的奇函数，
∴f（log₂10）=f（-4+log₂10）=-f（4-log₂10），
∵当x∈（0，1）时，f（x）=-2^x，
∴f（4-log₂10）=-${2}^{4{-log}_{2}10}$=-$\frac{8}{5}$，
即f（log₂10）=$\frac{8}{5}$，
故答案为：$\frac{8}{5}$．

点评 本题考查了函数奇偶性和周期性的应用，根据周期性把自变量的范围转化到与题意有关的区间上，再由奇偶性联系f（x）=-f（-x），利用对数的运算性质求出函数值．