Question

15．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判．每局比赛结束时，负的一方在下局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为$\frac{1}{2}$，甲胜丙、乙胜丙的概率都是$\frac{2}{3}$，各局比赛的结果相互独立，第一局甲当裁判．
（1）求第3局甲当裁判的概率；
（2）记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）第2局中可能是乙当裁判，也可能是丙当裁判，求出对应概率值，
由此能求出第3局甲当裁判的概率；
（2）由题意X可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，
由此能求出X的概率分布与数学期望．

解答 解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为$\frac{1}{3}$，
也可能是丙当裁判，其概率为$\frac{2}{3}$，
∴第3局甲当裁判的概率为$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$；…（4分）
（2）由题意X可能的取值为0，1，2；…（5分）
P（X=0）=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，…（6分）
P（X=2）=$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，…（7分）
P（X=1）=1-P（X=0）-P（X=2）=1-$\frac{2}{9}$-$\frac{4}{27}$=$\frac{17}{27}$；…（8分）
∴X的概率分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{2}{9}$	$\frac{17}{27}$	$\frac{4}{27}$

∴X的数学期望E（X）=0×$\frac{2}{9}$+1×$\frac{17}{27}$+2×$\frac{4}{27}$=$\frac{25}{27}$．…（10分）

点评 本题考查了古典概率的求法问题，也考查了离散型随机变量的分布列和数学期望的计算问题，是中档题．