Question

12．已知M为双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$右支上一点，A，F分别为双曲线C左顶点和的右焦点，MF=AF，若∠MFA=60°，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 设双曲线的另一焦点为F′，根据双曲线的定义得MF′=3a+c，在△MFF′中，由余弦定理得MF′²=MF²+FF′²-2MF•FF′cos60°，即4a²+3ac-c²=0，解得4a=c，即$\frac{c}{a}=4$即可

解答 解：如图所示，∵MF=FA，∠MFA=60°，
∴△MFA是等边三角形．
则有AF=a+c，MF=a+c，
设双曲线的另一焦点为F′，根据双曲线的定义得MF′=3a+c，
在△MFF′中，由余弦定理得MF′²=MF²+FF′²-2MF•FF′cos60°，
即4a²+3ac-c²=0，解得4a=c，即$\frac{c}{a}=4$，
∴双曲线C的离心率为4．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的方程、定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．