Question

不经过原点O的直线l与圆x²+y²=1交于不同的两点P、Q，若直线PQ的斜率是直线OP和直线OQ斜率的等比中项，则S_△POQ的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：设直线l的方程为y=kx+m代入圆的方程消去y得，（1+k²）x²+2kmx+m²-1=0，由此利用根的判别式、韦达定理、等比数列结合已知条件能求出k．直线OQ的斜率存在且不为0，及△＞0，得0＜m²＜2，且m≠1，求出点O到直线l的距离，由此能求出S_△OPQ的取值范围．

解答： 解：由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）
P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由y=kx+m，代入圆的方程消去y得，（1+k²）x²+2kmx+m²-1=0
则△=（2km）²-4（1+k²）×（m²-1）=4（k²-m²+1）＞0
且x₁+x₂=-

2km

1+k2

，x₁x₂=

m2-1

1+k2

故y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=k²，
所以1-k²=0
所以直线l的斜率k为±1
直线OQ的斜率存在且不为0，及△＞0
所以0＜m²＜2，且m≠1，
设d为点O到直线l的距离，
则S_△OPQ=

1

2

d|PQ|=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

m2(2-m2)

≤

1

2

∴S_△OPQ的取值范围为（0，

1

2

]．
故答案为：（0，

1

2

]．

点评：本题考查直线的斜率的求法，考查三角形面积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．