Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）-2sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）集合A={x|0≤x≤

π

2

}，B={x|f（x）-m＞

3

}，若A∪B=B，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,并集及其运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），可将函数解析式化为正弦型函数，结合ω值，可求出函数的周期，根据正弦函数的单调性，构造不等式解出函数的单调递增区间；
（2）由A∪B=B，可得：A⊆B，即x∈[0，

π

2

]，f(x)-m＞

3

恒成立，即f(x)＞m+

3

恒成立，即f(x)min＞m+

3

，进而得到m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）-2sin²x=cos2x•

1

2

+sin2x•

3

2

-(1-cos2x)=

3

sin(2x+

π

3

)-1，
∵ω=2，
∴T=π，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z
（2）集合A={x|0≤x≤

π

2

}，B={x|f（x）-m＞

3

}，A∪B=B，
∴A⊆B，
∴x∈[0，

π

2

]，f(x)-m＞

3

恒成立，
∴f(x)＞m+

3

∴f(x)min＞m+

3

，
∵x∈[0，

π

2

]，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴f(x)min=

3

•(-

3

2

)-1=-

5

2

∴-

5

2

＞m+

3

，
∴m＜-

5

2

-

3

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，集合的包含关系，恒成立问题，是三角函数与集合的综合应用，难度中档．