Question

已知动圆P与圆C₁：（x+1）²+y²=

1

8

外切，与圆C₂（x-1）²+y²=

49

8

内切．
（1）求动圆的圆心P的轨迹C的方程；
（2）设点M（

1

4

，0），是否存在过点F（1，0）且与x轴不垂直的直线l与轨迹C交于A、B两点，使得

MA

+

MB

⊥

AB

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由两圆的位置关系得到|PC1|+|PC2|=2

2

＞|C1C2|=2，由此可知动点P的轨迹为以C₁，C₂为焦点的椭圆，并求得长半轴长及半焦距，利用隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）假设存在这样的直线l，并设其方程为y=k（x-1），由点差法结合（

MA

+

MB

）⊥

AB

得到k的值，则直线l的方程可求．

解答： 解：（1）设动圆P的半径为r，由条件有：

|PC1|= 2 4 +r |PC2|= 7 2 4 -r

，
则|PC1|+|PC2|=2

2

＞|C1C2|=2，
∴动点P的轨迹为以C₁，C₂为焦点的椭圆，且2a=2

2

，c=1，
∴b²=a²-c²=1．
则所求轨迹的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A，B的中点为N（x₀，y₀），
假设存在这样的直线l，并设其方程为y=k（x-1），
由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
又

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

，则

(x1-x2)(x1+x2)

2

+(y1-y2)(y1+y2)=0．
即x₀+2ky₀=0，①
由（

MA

+

MB

）⊥

AB

，得k•

y0

x0- 1 4

=-1，②
联立①②得：x0=

1

2

，又x0=

x1+x2

2

=

2k2

1+k2

，
∴k=±

2

2

．
∴这样的直线l存在，其方程为y=±

2

2

(x-1)．

点评：本题考查了椭圆的定义，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法求与中点弦有关的问题，是压轴题．