Question

13．已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据二次函数的性质判断g（x）的单调性，根据最值列出方程组解出a，b；
（II）化简不等式，分离参数得k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$+1在[-1，1]上恒成立，设t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，利用换元法得出h（t）=t²-2t+1在[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值即可得出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵g（x）的函数图象开口向上，对称轴为x=1，
∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，
故$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=1}\\{3a+1+b=4}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（Ⅱ）由已知可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，
∵不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$-2-k•2^x≥0在[-1，1]上恒成立，
∴k≤（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-$\frac{2}{{2}^{x}}$+1在[-1，1]上恒成立，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，则k≤t²-2t+1=（t-1）²恒成立，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
设h（t）=（t-1）²，则h_min（t）=h（1）=0，
∴k≤0．
∴k的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数最值的计算，函数恒成立问题研究，属于中档题．