Question

8．已知所数f（x）=2cosωx-2sinωx（ω＞0）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，则当ω取得最大值时，下列说法正确的是（　　）

• A． ω=2
• B． 函数f（x）的对称轴为x=-$\frac{π}{2}$+kx（k∈Z）
• C． 函数f（x）的对称中心为（$\frac{π}{2}$+kx，0）（k∈Z）
• D． 函数f（x）在[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]上的最小值为-$\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 化函数f（x）为余弦型函数，利用余弦函数的单调性求得f（x）的减区间，结合条件可求得ω的最大值，再写出f（x）的解析式，从而判断选项是否正确即可．

解答 解：函数f（x）=2cosωx-2sinωx=2$\sqrt{2}$cos（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
∴2kπ≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，求得-$\frac{π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{3π}{4ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$ （k∈Z）．
∵f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
∴-$\frac{π}{4ω}$≤-$\frac{π}{2}$，且$\frac{3π}{4ω}$≥$\frac{π}{2}$，
求得 0＜ω≤$\frac{1}{2}$，∴ω_max=$\frac{1}{2}$，A错误；
∴f（x）=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$），
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，解得f（x）的对称轴是x=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，B错误；
令$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得f（x）的对称中心是（2kπ+$\frac{π}{2}$，0），k∈Z，C错误；
x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{2π}{3}$]时，$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{12}$]，f（x）是单调减函数，
其最小值为2$\sqrt{2}$cos$\frac{7π}{12}$=-$\sqrt{3}$+1，D正确．
故选：D．

点评 本题主要考查两角和的余弦公式以及余弦函数的单调性问题，是综合题．