题目内容

3．定义域为[a，b]的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，向量$\overrightarrow{ON}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=λa+（1-λ）b，λ∈[0，1]=．若不等式|MN|≤k恒成立，则称函数f（x）在[a，b]上满足“k范围线性近似”，其中最小的正实数k称为该函数的线性近似阀值．则定义在[1，2]上的函数y=sin$\frac{πx}{3}$与y=x-$\frac{1}{x}$的线性近似阀值分别是（　　）
A．1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$B．1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$C．1-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$D．2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$

分析 对于函数y=sin$\frac{π}{3}$x，AB方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由三角函数图象与性质求出线性近似阀值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；对于函数y=x-$\frac{1}{x}$，直线AB方程为y=$\frac{3}{2}$（x-1），从而|MN|=|=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$（x-1）=$\frac{3}{2}$-（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，由此能求出结果．

解答 解：对于函数y=sin$\frac{π}{3}$x，A（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），AB方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由三角函数图象与性质可知|MN|≤1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
线性近似阀值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
对于函数y=x-$\frac{1}{x}$，得A（1，0），B（2，$\frac{3}{2}$），
∴直线AB方程为y=$\frac{3}{2}$（x-1），
∴|MN|=|=x-$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$（x-1）=$\frac{3}{2}$-（$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$，
线性近似阀值为$\frac{3}{2}$-$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查的函数的线性近似阀值的交集，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．

练习册系列答案
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13．已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若不等式f（2x）-k•2x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求实数k的取值范围．
14．北京时间3月10日，CBA半决赛开打，采用7局4胜制（若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格），采用2-3-2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场），以下是总决赛赛程：
日期比赛队主场客场比赛时间比赛地点
17年3月10日新疆-辽宁新疆辽宁20：00乌鲁木齐
17年3月12日新疆-辽宁新疆辽宁20：00乌鲁木齐
17年3月15日辽宁-新疆辽宁新疆20：00本溪
17年3月17日辽宁-新疆辽宁新疆20：00本溪
17年3月19日辽宁-新疆辽宁新疆20：00本溪
17年3月22日新疆-辽宁新疆辽宁20：00乌鲁木齐
17年3月24日新疆-辽宁新疆辽宁20：00乌鲁木齐
（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为$\frac{2}{3}$，客场取胜的概率均为$\frac{1}{3}$，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；
（2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为$\frac{1}{2}$，设本次半决赛中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X，求X的分布列及数学期望．
11．曲线y=sinx+1在点（0，1）处的切线方程为x-y+1=0．
18．已知$\left\{\begin{array}{l}x+2y≥2\\ 3x-y-6≤0\\ 2x-3y+3≥0\end{array}\right.$，且z=x2+y2，则z的最小值是（　　）
A．4B．1C．18D．$\frac{4}{5}$
8．定积分${∫}_{0}^{-1}$（$\sqrt{1-{x}^{2}}$+x）dx的值为$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$．
15．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为π，则“f（-x）=f（x）”是“φ=$\frac{π}{4}$”的（　　）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．如图，四边形ABCD中，△BCD为正三角形，AD=AB=2，BD=2$\sqrt{3}$，AC与BD交于O点．将△ACD沿边AC折起，使D点至P点，已知PO与平面ABCD所成的角为θ，且P点在平面ABCD内的射影落在△ACD内．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若θ=$\frac{π}{3}$时，求二面角A-PB-D的余弦值．
13．已知向量|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=0，则$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的模等于1．

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